%
%    Пример статьи с пояснениями, для подачи
%    в журнал "Журнал теоретической и прикладной механики"
%


\input{preambln.tex}

\begin{document}

%\eng
%Если текст статьи английский, то знак процента перед \eng нужно убрать.


\udk{531.38}
% Индекс УДК

\codes{1-14}{qwerty}
% {страницы}{код EDN}, заполняются при верстке номера

\title{УРАВНЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ \\ ГИРОСКОПА ГЕССА}
      {Уравнения и интегралы движения гироскопа Гесса}

% Если название статьи длинное, то оно автоматически разбивается на
% на несколько строк. Для принудительного разрыва используйте \\.

% Во вторых скобках указывается название которое отображается
% в колонтитуле. Его размер не должен превышать 75 символов.

\titleeng{Paper name in English}

\authorc{А.М. Ковалев}
% Автор(ы)-колонтитул
\author{А.М. Ковалев$^1$}
% Автор(ы)
\authoreng{Author(s)}
% Автор(ы) на английском языке

\date{19.05.2015}{**.**.****}{**.**.****}
% {дата поступления статьи в редакцию}{дата доработки}{дата подписи в печать}

\footnotetext{
$^1$\textit{Ковалев Александр Михайлович} -- доктор физ.-мат. наук, директор ГУ «ИПММ», Донецк, e-mail: : kovalev@iamm.su.}
\footnotetext{%
\textit{Kovalev Alexander Mikhailovich} -- Doctor of Physical and Mathematical Sciences,  Director, Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Donetsk.
}
% Информация об авторах на русском и английском языке.

\maketitle
% команда формирующая титульную страницу статьи, а также колонтитулы.

\begin{abstract}
%
% Здесь должна быть краткая аннотация статьи, например такая:
%
Движение гироскопа Гесса рассматривается в специальной системе
координат, введенной П.В.Ха\-р\-ламовым. В исходных переменных
описано и исследовано множество равномерных вращений. С помощью
интегралов выполнено понижение порядка уравнений до третьего.
Выделены стационарные решения редуцированной системы. Для исходной
системы получены линеаризованные в окрестности стационарных
движений уравнения и указаны их интегралы.
\vspace{1mm}\\
\textbf{\emph {Ключевые слова: }}\itshape{ключевые слова (не более
5-6 слов) печатаются с маленькой буквы.}
\end{abstract}

\abstracteng{Annotation in English.}


\kweng{keywords in English}



% Каждый пункт статьи должен начинаться с команды \Section{Название пункта}
% после названия точку ставить не нужно. Пункты автоматически намеруются.



\Section{Введение} Гироскоп Гесса [1] занимает важное место в
динамике твердого тела благодаря тому, что, во-первых, частными
случаями его движения являются случаи Эйлера и Лагранжа, и,
во-вторых, решение уравнений движения при данном распределении масс
обладает рядом замечательных свойств [2], установленных еще
%
% Знак \- указывает TeX-у как нужно переносить незнакомые для него слова.
%
Г.Г.Ап\-пель\-ро\-том и А.М.Ляпуновым при решении задачи
С.В.Ковалевской. Частные случаи движения гироскопа Гесса
описываются решениями В.Гесса и А.И.Докшевича, которые достаточно
хорошо изучены аналитически и геометрически. Движение гироскопа
Гесса в общем случае пока не исследовано.


%
% Для формулировки теоремы следует использовать окружение
%    \begin{theorem}
%     Текст формулировки теоремы
%    \end{theorem}
%
% Теоремы автоматически не нумеруются. Чтобы присвоить теореме номер
%  нужно указать его в качестве параметра.
%    \begin{theorem}[1]             % в данном случае получится Теорема 1.
%     Текст формулировки теоремы
%    \end{theorem}
%
% Соответствующие окружения также имеются для
%
%    Лемма         ( \begin{lemma}          \end{lemma}      )
%    Замечание     ( \begin{remark}         \end{remark}     )
%    Пример        ( \begin{example}        \end{example}    )
%    Определение   ( \begin{definition}     \end{definition} )
%
% В остальных случаях (напр. утверждение) или для более сложных
% структур (напр. Теорема Кенига) используется следующая команда
%    \begin{newthm}{Теорема Кенига}
%     it{Текст формулировки теоремы}
%    \end{newthm}
%
% Здесь в качестве параметра должен стоять текст который будет находится
% перед формулировкой.
%
% Для доказательства следует использовать следующее окружение
%    \begin{proof}
%     Текст доказательства
%    \end{proof}
%
% Для более сложной структуры заголовка доказательства используется
% необязательный параметр:
%    \begin{proof}[Доказательство леммы]
%     Текст доказательства
%    \end{proof}
%
% Примеры использования данных команд приводятся ниже.
%

\Section{Теоремы}
В этом пункте приводятся примеры оформления теорем, лемм,
доказательств, примеров и т.д.

\begin{theorem}[1]
В случае равномерных вращений винта с симметричными
лопастями при любом выборе параметров системы относительное положение
равновесия лопастей винта будет асимптотически устойчиво.
\end{theorem}

\begin{proof}
Для автономной (т.к. $r=r_0\equiv\text{const}$) системы
дифференциальных уравнений
возмущенного движения запишем функцию Ляпунова в виде:
%
%
% Выключные формулы можно оформлять как по стандартным правилам LaTeX, т.е.
% $$ формула $$
% так и по павилам AMS-TeX
% \begin{equation}   % или другая команда
%  формула
% \end{equation}
%
% Тут стоит заметить что у AMS-TeX возможностей по оформлению
% формул гораздо больше.
%
% В конце формулы должен ставиться знак препинания.
%
% При использовании команд AMS формулы автоматически нумеруются,
% в то время как в случае $$  $$ (LaTeX) нумеровать формулы
% нужно вручную.
% Поэтому для отображения выключных формул следует во всей
% статье использовать только один способ (либо AMS либо LaTeX).
%
%
$$  V=\frac{1}{2}(Bx_1^2+Dx_2^2+k_2x_3^2+A_1x_4^2).  $$
Тогда производная $\dot{V}$ в силу системы
$$  \dot{V}=-\varepsilon (x_2^2+x_4^2)\le 0.  $$
Производная $\dot{V}$ обращается в нуль только на множестве точек
$M=\{x:(x_2=x_4=0)\}$, которое не включает в себя целых
полутраекторий нашей системы. Значит по теореме
Барбашина-Красовского решение $x_1=x_2=x_3=x_4=0$ линейной системы
асимптотически устойчиво.
\end{proof}

\begin{remark}
При отсутствии сил трения в шарнирах (т.е. $\varepsilon\equiv 0$ и
$\dot{V}\equiv 0$) решение $x_1=x_2=x_3=x_4=0$ линейной системы будет
устойчивым.
\end{remark}

\begin{newthm}{Теорема Кенига}
\it{Кинетическая энергия твердого тела равна кинетической энергии,
которую имела бы материальная точка, расположенная в центре инерции
тела, если бы в ней была сосредоточена вся масса тела плюс
кинетическая энергия тела в его движении относительно системы
отсчета, связанной с центром инерции и движущейся вместе с ним
поступательно.}
\end{newthm}

\begin{lemma}[1]
Для того, чтобы относительное положение равновесия лопастей винта
в линейном приближении было асимптотически устойчиво, достаточно,
чтобы выполнялось условие $\varepsilon >Dr_1$.
\end{lemma}

\begin{proof}[Доказательство леммы]
Запишем для неавтономной системы уравнений функцию Ляпунова в виде
$$  V=\frac{1}{2}Nx_1^2+\frac{1}{2}Dx_2^2+\frac{1}{2}kx_3^2+
    \frac{1}{2}A_1x_4^2+Dr_1x_1x_2,  $$
где $r_1\equiv\text{const}>0$ и число $N>0$ будут определены позже.
Используя критерий Сильвестра находим условие положительной
определенности функции $V$
$$\frac{1}{4}D(N-Dr_1^2)>0,~ \text {т.е.} ~N>Dr_1^2.$$
Вычислим $\dot{V}$
$$  \dot{V}=-B(t)r_1x_1^2-\varepsilon x_4^2-(\varepsilon -Dr_1)x_2^2+
    A_1(\dot{r}-rr_1)x_1x_4+(N-B(t)-\varepsilon r_1)x_1x_2.  $$
Мы получили $\dot{V}$, как квадратичную форму переменных $x_1,x_2,x_4.$
\end{proof}

\Section{Исходные соотношения} Приняв следующие обозначения: $ \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ -- проекции единичного
вектора направления силы тяжести на подвижные оси, $ \Gamma$ -- произведение веса тела и расстояния между центром масс
и неподвижной точкой, ${\bm G}$ -- кинетический момент тела относительно точки опоры, запишем уравнения движения и
интегралы гироскопа Гесса:
\begin{equation*}
\frac{d{\bm G}}{dt}={\bm G}\times{\bs \omega}+{\bm 1}\times{\bm \zeta}, \quad \frac{d{\bm \zeta}}{dt}={\bm
\zeta}\times{\bm \omega},
\end{equation*}
\begin{equation*}
 {\bm G}\cdot{\bm \omega}-2l\cdot{\bm \zeta}=2E,
\end{equation*}
\begin{equation*}
 {\bm G}\cdot{\bm \zeta}=k, \quad {\bm \zeta}\cdot{\bm \zeta}=1.
\end{equation*}
%
% для жирного шрифта в формулах можно использовать команду \bm
%
Или в скалярном виде:
\begin{align}
\dot x &= -b_1 z x, \notag\\
\dot y &= (a_1 - a_*) z x + b_1 y z - \Gamma \gamma_3, \notag\\
\dot z &= -(a_1 - a_*) y x + b_1 x^2 - b_1 y^2 + \Gamma \gamma_2, \notag\\
{\dot \gamma}_1 &= a_* z \gamma_2 - (a_* y + b_1 x) \gamma_3, \\
{\dot \gamma}_2 &= (a_1 x + b_1 y) \gamma_3 - a_* z \gamma_1, \notag\\
{\dot \gamma}_3 &= (a_* y + b_1 x) \gamma_1 - (a_1 x + b_1 y) \gamma_2, \notag
\end{align}

% Команда \seteq{n} принудительно устанавливает номер формулы n+1
% со сдвигом всех последующих номеров
% (в случаях когда формулы набраны по правилам AMS-TeX)
% т.е. если мы хотим чтобы следующая формула была под номером 3,
% то записываем следующую команду:

\seteq{2}
\begin{equation}
\begin{split}
a_1 x^2 + a_* (y^2 + z^2) + 2 b_1 y x -2 \Gamma \gamma_1 &= 2 E, \\
x \gamma_1 + y \gamma_2 + z \gamma_3 &= k, \quad
{\gamma_1}^2 + {\gamma_2}^2 + {\gamma_3}^2 = 1.
\end{split}
\end{equation}

\Section{Рисунки и графические объекты}
 Вставить в статью рисунок можно двумя способами. Либо создать его с помощью
 специально предназначенных для этого команд TeX, либо сначала нарисовать его с
 помощью графического редактора и затем импортировать в TeX документ.

{\bf Рисунок созданный с помощью команд TeX:}

\hskip10mm \setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(70,40)
\thicklines
 \put(2,20){\vector(1,0){45}}
 \put(5,20){\line(1,3){5}}
 \put(10,35){\line(1,0){17}}
 \put(27,35){\line(1,-3){5}}
 \put(5,20){\circle*{1}}
 \put(10,35){\circle*{1}}
 \put(27,35){\circle*{1}}
 \put(32,20){\circle*{1}}
 \put(3,16){\footnotesize$O_1$}
 \put(45,16){\footnotesize$Z$}
\end{picture}

\vskip-13mm \hskip10mm
 {\footnotesize {\sl Рис. 1. Подрисуночная подпись.}}

% Команда \setpic{n} принудительно устанавливает номер рисунка n+1
% со сдвигом всех последующих номеров
% (в случаях когда используется для подписи рисунка команда \caption (см. пример ниже))
% т.к. в предыдущем примере для подписи рисунка не использовалась
% команда \caption, то счетчик нумерации рисунков остался равен 1.
% И в следующем примере, где уже подпись рисунка создается с помощью
% команды \caption номер рисунка, если его не изменить командой \setpic{n} будет 1,
% что не приемлемо. Поэтому, чтобы номер рисунка был 2 записываем:

\setpic{1}

\vskip5mm
 {\bf Импортированный растровый рисунок:}

 Растровые рисунки должны иметь формат \textbf{JPG} или \textbf{PNG}.


\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.6, bb= 0 0 200 108, clip]{kovalev1.png}         %Вставляем рисунок
\caption{Институт прикладной математики и механики}                  %Подрисуночная подпись
                                                                     %Номер рисунка вставляется автоматически при компиляции
                                                                     %
                                                                     % scale=0.6 - масштаб печатаемого рисунка
                                                                     % bb= 0 0 200 108 - величина исходного размера рисунка
\end{figure}

% Импортируемый рисунок должен находиться в той же папке что и компилируемый файл.
% Задаваемые размеры должны соответствовать действительным размерам рисунка.

 \newpage
{\bf Рисунок обтекаемый текстом.}

% Здесь показан пример обтекания рисунка неким текстом.

Отсюда видно, что  двумерные многообразия, определяемые уравнениями $  V_1 = 0
$ и $ V_2 = 0 $, являются инвариантными. Для множителей  Леви-Чивита  выполнено
условие $ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = 0 $, и по теореме 3 система допускает
 интеграл.

\begin{floatingfigure}[l]{50mm}            % в квадратных скобках указывается с какой
                                           % стороны листа вставлять рисунок:
                                           % l-слева r-справа.
                                           % в фигурных скобках параметр указывает
                                           % ширину объекта.
\centering
\includegraphics[scale=0.5, bb= 0 0 179 289, clip]{kovalev2.png}
\caption{Подрисуночная подпись}
\end{floatingfigure}

\noindent
 С помощью этого интеграла находим $dy / dx = c_1 / x^3$,
т.е. система имеет еще один интеграл  $ I_2 = 2y + x^2 + z^2 = c_2 $. Таким образом указан полный набор интегралов.
Строение фазового пространства можно описать следующим образом. В пространстве имеется особое инвариантное
многообразие, состоящее из двух прямых $x = 0$, $z = \pm a $. Это одномерное многообразие включается в двумерное
интегральное многообразие $ I_1 = 0 $, состоящее из двух связных компонент: плоскости $ x = 0 $ и кругового цилиндра $
x^2 + z^2 = a^2 $, пересекающихся по особому многообразию. Любое другое инвариантное многообразие является интегральным
и определяется уравнениями: $ I_1 = c_1, I_2 = c_2 $ -- траектория -- одномерное инвариантное многообразие.

\vskip5mm
 {\bf Импортированный векторный рисунок:}

Наиболее качественными являются векторные рисунки. В статью можно вставлять векторные изображения формата \textbf{PS}
или \textbf{EPS}.

\begin{figure}[ht]
\includegraphics[scale=0.7, clip]{kovalev3.ps}
 \hskip2mm
\includegraphics[scale=0.37, clip]{kovalev4.eps}
 {\footnotesize {\sl
\vskip3mm
\begin{tabular}{p{5cm}p{1cm}p{5cm}}
 \centering   Рис. 4. Самолет  &&
 \centering   Рис. 5. Графики \\
\end{tabular}
}}
\end{figure}

\Section{Пример таблицы}

В этом пункте представлен вариант оформления данных в виде таблицы.
\newpage

\begin{table}[h]
  \fontsize{10pt}{12pt}\selectfont
  \vskip-7pt
  \centering
  \hskip37mm {\footnotesize {\sl Таблица 1. Значения напряжений $\sigma_s$ в точках контура отверстия}}
  %\caption{Значения напряжений $\sigma_s$ в точках контура отверстия}
  \label{Glushankov4-Tab1}
\setlength{\tabcolsep}{0.2em}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
\begin{tabular}{|c|c|r|r|r|r|r|r|r|r|r|}
\hline
Тип & $\theta$, & \multicolumn{9}{c|}{Значения $ha$} \\ \cline{3-11}
задачи & рад. & \multicolumn{1}{c|}{$0$} & \multicolumn{1}{c|}{$0,01$} & \multicolumn{1}{c|}{$0,1$} & \multicolumn{1}{c|}{$0,5$} & \multicolumn{1}{c|}{$1$} & \multicolumn{1}{c|}{$2$} & \multicolumn{1}{c|}{$10$} & \multicolumn{1}{c|}{$100$} & \multicolumn{1}{c|}{$\infty$} \\ \hline
& & \multicolumn{9}{c|}{Контур отверстия жестко подкреплен} \\ \hline
ТЭМУ & $\pi/12$ & $0,160$ & $0,159$ & $0,146$ & $0,098$ & $0,053$ & $-0,007$ & $-0,141$ & $-0,207$ & $-0,216$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/6$ & $0,291$ & $0,288$ & $0,263$ & $0,172$ & $0,087$ & $-0,026$ & $-0,280$ & $-0,405$ & $-0,422$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/4$ & $0,319$ & $0,315$ & $0,284$ & $0,169$ & $0,062$ & $-0,080$ & $-0,399$ & $-0,556$ & $-0,578$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/3$ & $0,101$ & $0,098$ & $0,075$ & $-0,010$ & $-0,088$ & $-0,193$ & $-0,428$ & $-0,544$ & $-0,560$ \\ \cline{2-11}
& $5\pi/12$ & $-0,460$ & $-0,459$ & $-0,451$ & $-0,420$ & $-0,392$ & $-0,354$ & $-0,269$ & $-0,227$ & $-0,221$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/2$ & $-0,869$ & $-0,865$ & $-0,832$ & $-0,710$ & $-0,597$ & $-0,445$ & $-0,107$ & $0,060$ & $0,084$ \\ \hline
ТУ & $\pi/12$ & $-0,053$ & $-0,052$ & $-0,050$ & $-0,040$ & $-0,032$ & $-0,020$ & $0,006$ & $0,018$ & $0,020$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/6$ & $-0,155$ & $-0,155$ & $-0,148$ & $-0,121$ & $-0,097$ & $-0,065$ & $0,007$ & $0,043$ & $0,048$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/4$ & $-0,332$ & $-0,330$ & $-0,316$ & $-0,264$ & $-0,215$ & $-0,150$ & $-0,006$ & $0,066$ & $0,076$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/4$ & $-0,563$ & $-0,561$ & $-0,538$ & $-0,454$ & $-0,377$ & $-0,273$ & $-0,041$ & $0,074$ & $0,090$ \\ \cline{2-11}
& $5\pi/12$ & $-0,779$ & $-0,775$ & $-0,745$ & $-0,634$ & $-0,531$ & $-0,394$ & $-0,086$ & $0,066$ & $0,087$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/2$ & $-0,869$ & $-0,866$ & $-0,833$ & $-0,711$ & $-0,597$ & $-0,446$ & $-0,108$ & $0,060$ & $0,083$ \\ \hline
& & \multicolumn{9}{c|}{Контур отверстия не подкреплен \cite{Glushankov4-cite95}} \\ \hline
ТЭМУ & $\pi/12$ & $0,188$ & $0,187$ & $0,174$ & $0,125$ & $0,081$ & $0,021$ & $-0,113$ & $-0,179$ & $-0,188$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/6$ & $0,357$ & $0,354$ & $0,329$ & $0,238$ & $0,153$ & $0,040$ & $-0,214$ & $-0,339$ & $-0,357$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/4$ & $0,448$ & $0,445$ & $0,414$ & $0,299$ & $0,192$ & $0,050$ & $-0,269$ & $-0,427$ & $-0,448$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/3$ & $0,330$ & $0,328$ & $0,305$ & $0,220$ & $0,142$ & $0,037$ & $-0,198$ & $-0,314$ & $-0,330$ \\ \cline{2-11}
& $5\pi/12$ & $-0,120$ & $-0,119$ & $-0,110$ & $-0,080$ & $-0,051$ & $-0,013$ & $0,072$ & $0,114$ & $0,120$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/2$ & $-0,476$ & $-0,472$ & $-0,440$ & $-0,317$ & $-0,204$ & $-0,053$ & $0,286$ & $0,453$ & $0,476$ \\ \hline
ТУ & $\pi/12$ & $-0,036$ & $-0,036$ & $-0,034$ & $-0,024$ & $-0,016$ & $-0,004$ & $0,022$ & $0,035$ & $0,036$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/6$ & $-0,102$ & $-0,101$ & $-0,094$ & $-0,068$ & $-0,044$ & $-0,011$ & $0,061$ & $0,097$ & $0,102$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/4$ & $-0,204$ & $-0,202$ & $-0,188$ & $-0,136$ & $-0,087$ & $-0,023$ & $0,122$ & $0,194$ & $0,204$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/3$ & $-0,327$ & $-0,324$ & $-0,302$ & $-0,218$ & $-0,140$ & $-0,036$ & $0,196$ & $0,311$ & $0,327$ \\ \cline{2-11}
& $5\pi/12$ & $-0,433$ & $-0,430$ & $-0,400$ & $-0,289$ & $-0,186$ & $-0,048$ & $0,260$ & $0,412$ & $0,433$ \\ \cline{2-11}
& $\pi/2$ & $-0,476$ & $-0,472$ & $-0,440$ & $-0,317$ & $-0,204$ & $-0,053$ & $0,286$ & $0,453$ & $0,476$ \\ \hline
\end{tabular}
%\vskip-12pt
\end{table}


\begin{table}[h!]
\footnotesize
\hskip105mm {\footnotesize {\sl Таблица 1. }}

\hskip20mm {\footnotesize {\sl Показания датчиков трения между породными слоями }}
  \centering
  \scriptsize
  \setlength{\tabcolsep}{5pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline

{} & {} & \multicolumn{6}{c|}{Показание датчиков давления} \\ \cline{3-8}

{№№} & {Базовое} & \multicolumn{3}{c|}{При отходе лавы на 120 м} & \multicolumn{3}{c|}{При отходе лавы на 200 м} \\

{датчика}&{усилие,} & \multicolumn{3}{c|}{до обрушения кровли} & \multicolumn{3}{c|}{до обрушения кровли} \\ \cline{3-8}

{}&{кг} & {Показание} & {Разность} & {\%} & {Показание} & {Разность}& {\%} \\

{}&{} & {датчика} & {} & {} & {датчика} & {}& {} \\ \hline
1 & 3,4 & 3,5 & 0,1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
2 & 3,2 & 3,5 & 0,3 & 10 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
3 & 3,3 & 3,1 & -0,2 & -6 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
4 & 3,5 & 3,6 & 0,1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
5 & 3,5 & 3,5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
6 & 3,6 & 3,6 & 0 & 0 & 4,2 & 0,6 & 17 \\ \hline
7 & 3,5 & 3,5 & 0 & 0 & 4,3 & 0,8 & 23 \\ \hline
8 & 4,1 & 4,1 & 0 & 0 & 3,8 & -0,3 & -8 \\ \hline
9 & 4,0 & 4,0 & 0 & 0 & 3,9 & -0,1 & -2 \\ \hline
10 & 3,2 & 3,2 & 0 & 0 & 3,3 & 0,1 & 3 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}




\begin{table}[h!]
\footnotesize
\hskip57mm {\footnotesize {\sl  Таблица 1. Расчет количества опор в скате.}}
  \centering
  \setlength{\tabcolsep}{8pt}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.35}
	\begin{tabular}  {|c|c|c|c|c|c|}
  	\hline
  	Показатели & \multicolumn{5}{c|}{ Пласты} \\
  	\hline 	
  	 Нагрузка на 1 п.м. ската &  $m_3$ &  $m_5$ & $l_3$ &  $l_4^{\text{н}}$ & $K'_5$\\
  	\hline
  	 Количество опор на 1 п.м. ската & 4270 & 10870 &  15525 &  17280 & 22700\\
  	\hline 	
  	 Количество опор & 2 & 4 & 5 & 6 & 8\\
  	\hline
		\end{tabular}
%	\end{center}
	\end{table}


\begin{table}[h]
\footnotesize
\hskip117mm {\footnotesize {\sl Таблица 6. }}

\hskip12mm {\footnotesize {\sl S(-h/2) при предельном неупругом решении задачи в узлах при $\textit{q}_\textit{пр}$ = 6,7521 МПа }}

  \centering
  \scriptsize
  \setlength{\tabcolsep}{7pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1.225}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\multirow{2}{*}{Узлы по $\alpha_{2}$}& \multicolumn{7}{c|}{Узлы по $\alpha_{1}$}\\ \cline{2-8}
&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline
2&0&35,9953&21,6443&18,1998&14,8592&12,0201&12,7586\\ \hline
3&74,3116&68,6259&76,5231&76,7171&74,4786&73,3474&78,4386\\ \hline
4&97,2666&73,5253&85,7587&80,5734&72,7758&64,3209&68,5635\\ \hline
5&102,4197&77,1442&94,0304&89,5588&80,6655&65,2917&88,4187\\ \hline
6&104,6525&77,8688&99,832&100,8903&99,9425&104,5324&202,1488\\ \hline
7&108,3342&78,2206&103,3815&109,7769&116,4242&138,2475&225,2662\\ \hline
8&111,3069&81,4599&107,1155&116,0281&124,4164&141,1068&198,8439\\ \hline
9&111,0235&87,1237&112,1846&121,9645&131,8194&150,7955&214,9609\\ \hline
10&107,1946&93,6897&117,6642&126,536&137,2609&167,037&246,9673\\ \hline
11&102,4506&99,7731&121,4927&126,2432&129,2082&136,6308&240,1384\\ \hline
12&100,083&101,9353&120,3579&119,0139&112,0972&95,383&118,939\\ \hline
13&99,1004&99,3176&115,5467&110,3701&101,4726&91,6384&96,4845\\ \hline
14&98,3396&95,1406&111,8734&107,0545&101,2628&97,8017&102,5895\\ \hline
15&97,9323&91,0234&108,9873&105,4814&101,9017&100,4384&102,3194\\ \hline
16&97,6465&86,3522&104,2589&101,7708&99,216&97,9307&97,6597\\ \hline
17&93,6868&79,627&95,5771&95,3096&94,5758&94,2119&93,9515\\ \hline
18&72,2867&70,5824&82,8801&88,2055&90,6073&91,7982&92,553\\ \hline
19&0&33,685&22,5578&24,8239&25,6057&25,12&24,035\\ \hline
\end{tabular}
\end{table}







% Список литературы заключается в окружение
%
% \begin{thebibliography}{n}
%   список литературы
% \end{thebibliography}
%
% где n=9   если источников меньше 10
%     и n=99 если источников 10 или больше.

\begin{thebibliography}{9}

\item
\emph{Голубев В.В.} Лекции по интегрированию уравнений движения
тяжелого твердого тела около неподвижной точки / В.В. Голубев. -- М.:
Гостехиздат, 1953. -- 288~c.

\item
\emph{Харламов П.В.} Лекции по динамике твердого тела / П.В. Харламов. --
Новосибирск: Изд-ие НГУ, 1965. -- 221~c.


\item
\emph{Горр Г.В.}
Об особых решениях одной формы
уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку / Г.В. Горр, А.А. Илюхин, Е.И. Харламова
// Механика твердого тела. -- 1974. -- Вып.~6. -- С.~3--9.

\end{thebibliography}

\end{document}
